Condizioni Necessarie e Sufficienti
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Una condizione necessaria puo servire a restringere l’insieme di punti in cui cercare la soluzione e a costruire algoritmi che soddisfano la condizione necessaria.
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Una condizione sufficiente puo servire a dimostrare che un punto ottenuto per via numerica sia una soluzione ottima
Condizione Necessaria del Primo Ordine
Teorema
Sia
un punto di minimo locale. Se è differenziabile in , allora in
La condizione necessaria fornisce i punti stazionari candidati ad essere punti minimali.
Se il problema è convesso, la condizione diventa necessaria e sufficiente.
Condizione Sufficiente del Secondo Ordine
Teorema
Sia
un punto di minimo locale. Se è differenziabile due volte in , allora in e la matrice hessiana è semidefinita positiva
Condizione Necessaria del Secondo Ordine
Sia
- Se la matrice hessiana è definita positiva, allora
è punto di minimo locale; - Se la matrice hessiana è definita negativa allora
è punto di massimo locale; - Se la matrice hessiana è indefinita, allora
è un punto di sella - Se la matrice hessiana è semidefinita non si può dire niente
Regolarità dei vincoli di uguaglianza
Condizione di Ottimalità del primo ordine
Forma Equivalente
Funzione Lagrangiana